ಪ್ರೀತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೇ, ನಿನ್ನೆಯ ಸಂಚಿಕೆಯಲ್ಲಿ ವಿಜ್ಞಾನ ಪ್ರಶ್ನೆಪತ್ರಿಕೆಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿದ್ದೆವು. ಇಂದು ಅಷ್ಟೇ ಆಕರ್ಷಕವಾದ ಗಣಿತದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ತಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಇಡುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.

ಗಣಿತದಲ್ಲಿಯೂ ವಿಜ್ಞಾನದ ಹಾಗೆ ನಾಲ್ಕು ರೀತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಇದ್ದು 12-14 ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಜೀವನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯ ಮಾಡಿ ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಇವು ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಪಾಠದಿಂದ ಅನ್ವಯಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಬರಬಹುದು ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳಲಾಗದು. ಆದರೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆ ಸಮಸ್ಯೆ ಇಲ್ಲ. ಇದೇ ಪಾಠ ಎಂದು ಖಚಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು. ಪ್ರತೀ ವರ್ಷವೂ ಕೇಳುವ ಅನ್ವಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಬ್ರಾಂಡ್ ನ್ಯೂ ಆದ ಕಾರಣ ನೀವು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಿಪೇರ್ ಆಗಬೇಕು. ಆದರೆ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಕಠಿಣ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಲ್ಲೆ.

(1) ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿ (Arithmatic Progression) ಈ ಪಾಠದಿಂದ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕಗಳ ಒಂದು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಚಾಯ್ಸ್ ಕೂಡ ಇರುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಹೆಚ್ಚಿದೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆ ನೋಡೋಣ. 1) ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯ ಹತ್ತನೇ ಮತ್ತು ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಪದಗಳು 22 ಮತ್ತು 42 ಇವೆ. ಇಪ್ಪತ್ತೈದನೇ ಪದ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ. 2) ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೂರು ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 15. ಅವುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ 83. ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ. 3) 200ರಿಂದ 300ರ ವರೆಗಿನ ಮೂರರ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ. 4) 50 ಪದಗಳಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯ ಮೊತ್ತ 10 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 210. ಕೊನೆಯ 15 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 2565. ಆದರೆ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. 5) ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯ ನಾಲ್ಕು ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 32. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಎರಡು ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಅನುಪಾತವು 7: 15 ಆಗಿದೆ. ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

(2) ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ (Quadratic Equations) ಈ ಪಾಠದಿಂದ ಮೂರು ಅಂಕಗಳ ಒಂದು ಅನ್ವಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಬರುತ್ತಿದ್ದು ಅದಕ್ಕೆ ಕೂಡ ಚಾಯ್ಸ್ ಇರುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿವೆ. 1) ಲಂಬಕೋನದ ವಿಕರ್ಣವು 13 cm ಇರುತ್ತದೆ. ಪಾದವು ಎತ್ತರಕ್ಕಿಂತ ಏಳು cm ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದ ಇರುತ್ತದೆ. ಪಾದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ. 2) ಒಂದು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ರಾಂಕ್ ಪಡೆದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ 3600 ರೂಪಾಯಿಗಳನ್ನು ಸಮನಾಗಿ ಹಂಚಲಾಯಿತು. ಅದರಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕಡಿಮೆ ಬಂದ ಕಾರಣ ಉಳಿದವರಿಗೆ 10ರೂ. ಹೆಚ್ಚು ದೊರೆಯಿತು. ಹಾಗಾದರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವೇತನ ಪಡೆದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು? 3) ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 18. ಅವುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ 290. ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ. 4) ಒಂದು ಆಯತದ ಸುತ್ತಳತೆ 54 cm. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು 180 ಚದರ cm ಇದೆ. ಅದರ ಉದ್ದ ಅಗಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ. 5) ಬೆಂಗಳೂರಿನಿಂದ ಒಂದು ನಗರಕ್ಕೆ 1200ಕಿಮೀ ದೂರ ಇದೆ. ಒಂದು ಪ್ಯಾಸೆಂಜರ್ ರೈಲಿನ ಸರಾಸರಿ ವೇಗಕ್ಕಿಂತ ಏಕ್ಸಪ್ರೆಸ್ ರೈಲಿನ ಸರಾಸರಿ ವೇಗವು 20km/ಗಂಟೆ ಹೆಚ್ಚಿದೆ. ಎಕ್ಸಪ್ರೆಸ್ ರೈಲು ಪ್ಯಾಸೆಂಜರ್ ರೈಲಿಗಿಂತ ಎರಡು ಗಂಟೆ ಕಡಿಮೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಆ ನಗರವನ್ನು ತಲುಪಿದರೆ ಎರಡೂ ರೈಲುಗಳ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 6) ಮೂರು ಕ್ರಮಾನುಗತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವು 50. ಆದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

(3) ತ್ರಿಕೋನ ಮಿತಿ (Trigonometry) ಈ ಪಾಠದಿಂದ ಮೂರು ಅಥವಾ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕಗಳ ಒಂದು ಅನ್ವಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಪ್ರತೀ ವರ್ಷವೂ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಕೇಳಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಉನ್ನತ ಕೋನ ಮತ್ತು ಅವನತ ಕೋನ ಆಧಾರಿತ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿವೆ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು. {ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಅವರೇ ಕೊಡಬಹುದು ಅಥವಾ ಕೊಡದಿರಬಹುದು} 1) 100 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರವಿರುವ ದೀಪಸ್ತಂಭದ ಬುಡದಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ದೂರದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಆ ದೀಪಸ್ತಂಭದ ತುದಿಯನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 30 ಡಿಗ್ರೀ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವನು ಸ್ವಲ್ಪ ದೂರ ದೀಪಸ್ತಂಭದ ಕಡೆಗೆ ನಡೆಯುತ್ತ ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದು ತಲುಪುತ್ತಾನೆ. ಅಲ್ಲಿಂದ ದೀಪಸ್ತಂಭದ ತುದಿಯನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 60 ಡಿಗ್ರೀ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ ಎಷ್ಟು? 2) ಒಂದು ಎತ್ತರದ ಬೆಟ್ಟದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಧ್ವಜವು ಹಾರುತ್ತಿದೆ. ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಆ ಬೆಟ್ಟದ ತುದಿಯನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 45 ಡಿಗ್ರೀ ಇರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬಾವುಟದ ತುದಿಯನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 60 ಡಿಗ್ರೀ ಇದೆ. ಆ ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವು ಬೆಟ್ಟದ ಬುಡದಿಂದ 100 ಮೀಟರ್ ದೂರ ಇದ್ದರೆ ಆ ಬೆಟ್ಟ ಮತ್ತು ಬಾವುಟದ ಎತ್ತರ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ. 3) 100 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರವಿರುವ ಒಂದು ದೀಪಸ್ಥಂಭದ ತುದಿಯಿಂದ ಅದರ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎರಡು ದೋಣಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅವುಗಳ ಅವನತ ಕೋನವು 30ಡಿಗ್ರೀ ಮತ್ತು 45 ಡಿಗ್ರೀ ಇವೆ. ಒಂದು ಹಡಗು ಇನ್ನೊಂದರ ಹಿಂಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ ಆ ದೋಣಿಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಎಷ್ಟು? 4) 70 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರವಿರುವ ಒಂದು ಕಟ್ಟಡದ ತುದಿಯಿಂದ ಅದರ ಮುಂದೆ ಇರುವ ಒಂದು ಗೋಪುರದ ಮೇಲ್ತುದಿಯನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 60 ಡಿಗ್ರೀ ಇದೆ. ಅದೇ ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲ್ತುದಿಯಿಂದ ಗೋಪುರದ ಕೆಳ ತುದಿಯನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅವನತ ಕೋನವು 45 ಡಿಗ್ರೀ ಇದೆ. ಆ ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

(4) ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಘನಫಲ (Surface Area and Volume) ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 14 ಸೂತ್ರಗಳು ಇವೆ. ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಕೊಡಬಹುದು ಅಥವಾ ಕೊಡದಿರಬಹುದು. ಈ ಪಾಠದಿಂದ 4/5 ಅಂಕಗಳ ಒಂದು ಅನ್ವಯಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಬರುತ್ತದೆ. 1) 21 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರವಿರುವ ಮತ್ತು 7 ಮೀಟರ್ ತ್ರಿಜ್ಯ ಇರುವ ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರನ ಮೇಲೆ ಅಷ್ಟೇ ತ್ರಿಜ್ಯ ಇರುವ ಎರಡು ಅರ್ಧ ಗೋಲಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಿ ಒಂದು ಟ್ಯಾಂಕರ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲು ದೊರೆಯುವ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು? ಅದರಲ್ಲಿ ತುಂಬಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಡೀಸೆಲನ್ನು ಲೀಟರನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 2) 15 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರವಿರುವ ಮತ್ತು 3.5 ಮೀಟರ್ ತ್ರಿಜ್ಯ ಇರುವ ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಮೇಲೆ ಅಷ್ಟೇ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಒಂದು ಅರ್ಧಗೋಳ ಮತ್ತು ಕೆಲಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಕೂಡ ಅಷ್ಟೇ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಮತ್ತು 7 ಮೀಟರ್ ಓರೆ ಎತ್ತರವಿರುವ ಒಂದು ಶಂಕುವನ್ನು ಫಿಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಒಟ್ಟು ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ. 3) 21 ಮೀಟರ್ ಆಳವಿರುವ ಮತ್ತು 15 ಮೀಟರ್ ತ್ರಿಜ್ಯ ಇರುವ ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಆಕಾರದ ಒಂದು ಬಾವಿಯನ್ನು ಕೊರೆದು ಆ ಮಣ್ಣನ್ನು ಒಂದು ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಒಂದು ಕಟ್ಟೆಯನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲಗಳು 3.5 ಮೀಟರ್ ಮತ್ತು 7 ಮೀಟರ್ ಇವೆ. ಅದರ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ. 4) 21 ಮೀಟರ್ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಮತ್ತು 15 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರವಿರುವ ಒಂದು ಘನ ಸಿಲಿಂಡರನ ಆಕಾರದ ಒಂದು ಮರದ ಕಾಂಡದಿಂದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ 7 ಮೀಟರ್ ವ್ಯಾಸವಿರುವ ಎರಡು ಅರ್ಧ ಘನ ಗೋಲಗಳನ್ನು ಕೊರೆದು ತೆಗೆಯಲಾಗಿದೆ. ಉಳಿದ ಆಕೃತಿಯ ಘನಫಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 5) 3.5 ಮೀಟರ್ ತ್ರಿಜ್ಯ ಇರುವ ಮತ್ತು 12 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರ ಇರುವ ಒಂದು ಶಂಕುವಿನಾಕೃತಿಯ ಪಾತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ತುಂಬಾ ಹಣ್ಣಿನ ಜ್ಯೂಸ್ ಇದೆ. ಅದನ್ನು 7 ಮೀಟರ್ ತ್ರಿಜ್ಯ ಇರುವ ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಆಕಾರದ ಪಾತ್ರೆಗೆ ವರ್ಗಾವಣೆ ಮಾಡಲಾಯಿತು. ಆಗ ಎಷ್ಟು ಎತ್ತರದವರೆಗೆ ಜ್ಯೂಸ್ ಭರ್ತಿ ಆಗಿದೆ? 6) ಶಂಕುವಿನ ಒಂದು ಭಿನ್ನಕದ ಎತ್ತರವು 12 ಮೀಟರ್. ಅದರ ಎರಡು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 3.5 ಮೀಟರ್ ಮತ್ತು 5 ಮೀಟರ್ ಇವೆ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಘನಫಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಇತರ ಪಾಠಗಳು. ಅದೇ ರೀತಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ( Probability), ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಥಿಯರಂ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಈ ಪಾಠದಿಂದ ಕೂಡ ಒಂದೆರಡು ಅನ್ವಯಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಹಿಂದಿನ ಎಸೆಸೆಲ್ಸಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಬಂದಿವೆ ಅನ್ನುವುದು ನಿಮ್ಮ ಗಮನದಲ್ಲಿ ಇರಲಿ. ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಗಣಿತ ಅಧ್ಯಾಪಕರನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ ಉತ್ತರ ಪಡೆದರೆ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಒಳ್ಳೆದಾಗಲಿ ನಿಮಗೆ.

(ನಾಳೆಗೆ ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತದೆ)

-ರಾಜೇಂದ್ರ ಭಟ್ ಕೆ